例 3.3.3

首先指出，$Z=X+Y$ 可取 $0,1,2,\cdots,n+m$ 等 $n+m+1$ 个不同的值，利用离散场合的卷积公式 (3.3.1)，可把事件 $\{Z=k\}$ 的概率表示为

$$P(Z=k) = \sum_{i=0}^k P(X=i)P(Y=k-i).$$

因为 $X \sim b(n,p)$，$Y \sim b(m,p)$，所以上式中只需考虑：$i \leq n, k-i \leq m$，即 $i \leq n, i \geq k-m$。因此记

$$a=\max\{0,k-m\}, \quad b=\min\{n,k\},$$

则

$$\begin{aligned} P(Z=k) &= \sum_{i=a}^b P(X=i)P(Y=k-i) \\ &= \sum_{i=a}^b \binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}\binom{m}{k-i}p^{k-i}(1-p)^{m-(k-i)} \\ &= p^k(1-p)^{n+m-k}\sum_{i=a}^b \binom{n}{i}\binom{m}{k-i}. \end{aligned}$$

利用超几何分布可证明：

$$\sum_{i=a}^b \frac{\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}}{\binom{n+m}{k}} = 1 \quad \text{或} \quad \sum_{i=a}^b \binom{n}{i}\binom{m}{k-i} = \binom{n+m}{k}.$$

由此可得

$$P(Z=k) = \binom{n+m}{k}p^k(1-p)^{n+m-k}, \quad k=0,1,\cdots,n+m.$$

这表明 $Z=X+Y \sim b(n+m,p)$，即在参数 $p$ 相同情况下，二项分布的卷积仍是二项分布，即 $b(n,p) * b(m,p) = b(n+m,p)$。这个性质可以推广到任意有限个场合，即

$$b(n_1,p) * b(n_2,p) * \cdots * b(n_k,p) = b(n_1+n_2+\cdots+n_k,p). \tag{3.3.5}$$

特别当 $n_1=n_2=\cdots=n_k=1$ 时，有

$$b(1,p) * b(1,p) * \cdots * b(1,p) = b(k,p), \tag{3.3.6}$$

这表明：如果 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 独立同分布，都服从 $b(1,p)$ 分布，则其和 $\sum_{i=1}^n X_i \sim b(n,p)$。

或者说，服从二项分布 $b(n,p)$ 的随机变量可以分解成 $n$ 个相互独立的 $0-1$ 分布的随机变量之和。