3.4.43hard一级题目发布者: ai-batch题干设随机向量 (X1,X2,X3)(X_1,X_2,X_3)(X1,X2,X3) 的相关系数分别为 ρ12,ρ23,ρ31\rho_{12},\rho_{23},\rho_{31}ρ12,ρ23,ρ31，且 E(X1)=E(X2)=E(X3)=0E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=0E(X1)=E(X2)=E(X3)=0，Var(X1)=Var(X2)=Var(X3)=σ2\mathrm{Var}(X_1)=\mathrm{Var}(X_2)=\mathrm{Var}(X_3)=\sigma^2Var(X1)=Var(X2)=Var(X3)=σ2，令 Y1=X1+X2,Y2=X2+X3,Y3=X3+X1.Y_1=X_1+X_2,\quad Y_2=X_2+X_3,\quad Y_3=X_3+X_1.Y1=X1+X2,Y2=X2+X3,Y3=X3+X1. 证明：Y1,Y2,Y3Y_1,Y_2,Y_3Y1,Y2,Y3 两两不相关的充要条件为 ρ12+ρ23+ρ31=−1\rho_{12}+\rho_{23}+\rho_{31}=-1ρ12+ρ23+ρ31=−1。