例 2.5.6

因为事件"第 $n$ 次冲击来到的时间 $S_n$ 小于或等于 $t$"等价于事件"$(0, t]$ 内发生冲击的次数 $N(t)$ 大于或等于 $n$"，即

$$\{S_n \leqslant t\} = \{N(t) \geqslant n\}$$

于是，$S_n$ 的分布函数为

$$F(t) = P(S_n \leqslant t) = P(N(t) \geqslant n) = \sum_{k=n}^{\infty} \frac{(\lambda t)^k}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda t}$$

用分部积分法可以验证下列等式：

$$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(\lambda t)^k}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda t} = \frac{\lambda^n}{\Gamma(n)} \int_t^{\infty} x^{n-1} \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{d}x \tag{2.5.16}$$

所以

$$F(t) = \frac{\lambda^n}{\Gamma(n)} \int_0^t x^{n-1} \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{d}x$$

这就表明 $S_n \sim Ga(n, \lambda)$。证毕。