例 2.2.7

设公司组织该货源 $a$ 吨，则显然应该有 $300 \leqslant a \leqslant 500$。又记 $Y$ 为在 $a$ 吨货源的条件下的收益额（单位：千元），则收益额 $Y$ 为需求量 $X$ 的函数，即 $Y = g(X)$。由题设条件知：当 $X \geqslant a$ 时，则此 $a$ 吨货源全部售出，共获利 $1.5a$。当 $X < a$ 时，则售出 $X$ 吨（获利 $1.5X$），且还有 $a - X$ 吨积压（获利 $-0.5(a - X)$），所以共获利 $1.5X - 0.5(a - X)$，由此知

$$g(X) = \begin{cases} 1.5a, & X \geqslant a, \\ 1.5X - 0.5(a - X), & X < a. \end{cases} = \begin{cases} 1.5a, & X \geqslant a, \\ 2X - 0.5a, & X < a. \end{cases}$$

由定理 2.2.1 和均匀分布可得

$$E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) p_X(x) \mathrm{d}x = \int_{300}^{500} g(x) \frac{1}{200} \mathrm{d}x$$ $$= \frac{1}{200} \left( \int_a^{500} 1.5a \, \mathrm{d}x + \int_{300}^{a} (2x - 0.5a) \, \mathrm{d}x \right)$$ $$= \frac{1}{200} (-a^2 + 900a - 300^2).$$

上述计算表明 $E(Y)$ 是 $a$ 的二次函数，用通常求极值的方法可以求得：当 $a = 450$ 吨时，能使 $E(Y)$ 达到最大，即公司应该组织货源 450 吨。