例 3.1.4

因为 $X$ 和 $Y$ 的可能取值都是 0, 1, 2, 3，所以记 $(X, Y)$ 的联合分布列为 $p_{ij}$。

当 $i + j > 3$ 时，有 $p_{ij} = 0$，即

$$p_{13} = p_{22} = p_{23} = p_{31} = p_{32} = p_{33} = 0.$$

而当 $i + j \leqslant 3$ 时，事件 $\{X = i, Y = j\}$ 表示：取出的 3 件产品中有 $i$ 件一等品、$j$ 件二等品、$3 - i - j$ 件三等品，所以有放回地抽取时，对 $i + j \leqslant 3$，有

$$p_{ij} = \frac{3!}{i!\,j!\,(3-i-j)!} \left(\frac{6}{10}\right)^i \left(\frac{3}{10}\right)^j \left(\frac{1}{10}\right)^{3-i-j}.$$

由以上公式，就可具体算出 $(X, Y)$ 的联合分布列为

	$Y=0$	$Y=1$	$Y=2$	$Y=3$
$X=0$	0.001	0.009	0.027	0.027
$X=1$	0.018	0.108	0.162	0
$X=2$	0.108	0.324	0	0
$X=3$	0.216	0	0	0

有此联合分布列，就可计算有关事件的概率，譬如

$$P(X \leqslant 1, Y \leqslant 1) = 0.001 + 0.009 + 0.018 + 0.108 = 0.136,$$ $$P(X = 0) = \sum_{j=0}^{3} P(X = 0, Y = j) = 0.001 + 0.009 + 0.027 + 0.027 = 0.064.$$

此例是第二章 §2.4 中的二项分布的推广，差别在于：§2.4 中讨论的是从"合格品""不合格品"两种情况中抽取，而在此是从一等品、二等品和三等品三种情况中抽取。这里我们称它为三项分布，它是一个二维随机变量的分布。