例 1.3.3

记事件 $A_k$ 为"取出的 $m$ 个球的最大号码为 $k$"。如果直接考虑事件 $A_k$，则比较复杂，因为"最大号码为 $k$"可以包括取到 1 次 $k$、取到 2 次 $k$……取到 $m$ 次 $k$。为步步倒退作 $B_i$ 为"取出的 $m$ 个球的最大号码均不大于 $i$"，$i=1,2,\cdots,n$，则 $B_i$ 发生只需每次从 $1,2,\cdots,i$ 号球中取即可，所以由古典概率知

$$P(B_i)=\frac{i^m}{n^m}, \quad i=1,2,\cdots,n.$$

又因为 $A_k=B_k-B_{k-1}$，且 $B_{k-1}\subset B_k$，由性质 1.3.4 得

$$P(A_k)=P(B_k-B_{k-1})=P(B_k)-P(B_{k-1})$$ $$=\frac{k^m-(k-1)^m}{n^m}, \quad k=1,2,\cdots,n.$$

譬如 $n=6,m=3,k=4$，可算得

$$P(A_4)=\frac{4^3-3^3}{6^3}=\frac{37}{216}=0.171\ 3.$$

其他的 $P(A_k)$ 也可算出，列表如下：

$k$	1	2	3	4	5	6	和
$P(A_k)$	0.004 6	0.032 4	0.088 0	0.171 3	0.282 4	0.421 3	1.000 0

这表明：掷三颗骰子，最大点数 $k$ 是随机变量，$k$ 取 6 的概率是 $0.421\ 3$，且

$$P(k\le 3)=0.004\ 6+0.032\ 4+0.088\ 0=0.125\ 0.$$

即掷三颗骰子，最大点数不超过 3 的概率仅为 $0.125\ 0$。