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学生教师

例 6.3.3

medium一级题目发布者: ai-batch

题干

（续例 6.2.6）设某遗传性状受一对等位基因控制，基因型 AA、Aa、aa 的概率分别为 θ2\theta^2θ2、2θ(1−θ)2\theta(1-\theta)2θ(1−θ)、(1−θ)2(1-\theta)^2(1−θ)2，其中 0<θ<10 < \theta < 10<θ<1。现观测到 nnn 个个体中，基因型 AA、Aa、aa 的个体数分别为 n1n_1n1​、n2n_2n2​、n3n_3n3​（n1+n2+n3=nn_1 + n_2 + n_3 = nn1​+n2​+n3​=n）。在例 6.2.6 中已给出 θ\thetaθ 的三个矩估计，试求 θ\thetaθ 的最大似然估计。

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解析

似然函数为

L(θ)=(θ2)n1[2θ(1−θ)]n2[(1−θ)2]n3=2n2θ2n1+n2(1−θ)2n3+n2,L(\theta) = (\theta^2)^{n_1}[2\theta(1-\theta)]^{n_2}[(1-\theta)^2]^{n_3} = 2^{n_2}\theta^{2n_1+n_2}(1-\theta)^{2n_3+n_2},L(θ)=(θ2)n1​[2θ(1−θ)]n2​[(1−θ)2]n3​=2n2​θ2n1​+n2​(1−θ)2n3​+n2​,

其对数似然函数为

ln⁡L(θ)=(2n1+n2)ln⁡θ+(2n3+n2)ln⁡(1−θ)+n2ln⁡2.\ln L(\theta) = (2n_1+n_2)\ln\theta + (2n_3+n_2)\ln(1-\theta) + n_2\ln 2.lnL(θ)=(2n1​+n2​)lnθ+(2n3​+n2​)ln(1−θ)+n2​ln2.

将之关于 θ\thetaθ 求导并令其为 0 得到似然方程

2n1+n2θ^−2n3+n21−θ^=0.\frac{2n_1+n_2}{\hat{\theta}} - \frac{2n_3+n_2}{1-\hat{\theta}} = 0.θ^2n1​+n2​​−1−θ^2n3​+n2​​=0.

解之，得

θ^=2n1+n22(n1+n2+n3)=2n1+n22n.\hat{\theta} = \frac{2n_1+n_2}{2(n_1+n_2+n_3)} = \frac{2n_1+n_2}{2n}.θ^=2(n1​+n2​+n3​)2n1​+n2​​=2n2n1​+n2​​.

由于

∂2ln⁡L(θ)∂θ2=−2n1+n2θ2−2n3+n2(1−θ)2<0,\frac{\partial^2 \ln L(\theta)}{\partial \theta^2} = -\frac{2n_1+n_2}{\theta^2} - \frac{2n_3+n_2}{(1-\theta)^2} < 0,∂θ2∂2lnL(θ)​=−θ22n1​+n2​​−(1−θ)22n3​+n2​​<0,

所以 θ^\hat{\theta}θ^ 是极大值点。

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