例 3.2.1

由边际分布函数的定义，令 $y \to +\infty$，得

$$F_X(x) = F(x, +\infty) = \lim_{y \to +\infty} F(x, y).$$

当 $x > 0$ 时，

$$F_X(x) = \lim_{y \to +\infty} \bigl(1 - e^{-x} - e^{-y} + e^{-x - y - \lambda xy}\bigr) = 1 - e^{-x} - 0 + 0 = 1 - e^{-x}.$$

当 $x \leqslant 0$ 时，$F_X(x) = 0$。因此

$$F_X(x) = \begin{cases} 1 - e^{-x}, & x > 0, \\ 0, & x \leqslant 0. \end{cases}$$

类似地，令 $x \to +\infty$，得

$$F_Y(y) = F(+\infty, y) = \lim_{x \to +\infty} F(x, y).$$

当 $y > 0$ 时，

$$F_Y(y) = \lim_{x \to +\infty} \bigl(1 - e^{-x} - e^{-y} + e^{-x - y - \lambda xy}\bigr) = 1 - 0 - e^{-y} + 0 = 1 - e^{-y}.$$

当 $y \leqslant 0$ 时，$F_Y(y) = 0$。因此

$$F_Y(y) = \begin{cases} 1 - e^{-y}, & y > 0, \\ 0, & y \leqslant 0. \end{cases}$$

$F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$ 都是参数为 1 的一维指数分布的分布函数。不同的 $\lambda > 0$ 对应不同的二维指数分布，但它们的两个边际分布与参数 $\lambda > 0$ 无关。这说明：二维联合分布不仅包含每个分量的概率分布，而且还含有两个变量 $X$ 与 $Y$ 间关系的信息，这正是人们要研究多维随机变量的原因。