例 1.4.8

medium一级题目发布者: ai-batch

题干

例 1.4.8 某地区居民的肝癌发病率为 0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查。医学研究表明，化验结果是可能存有错误的。已知患有肝癌的人其化验结果 99% 呈阳性（有病），而没患肝癌的人其化验结果 99.9% 呈阴性（无病）。现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多少？

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记 $B$ 为事件"被检查者患有肝癌"， $A$ 为事件"检查结果呈阳性"。由题设知

P(B) = 0.0004, \quad P(\overline{B}) = 0.9996,

P(A|B) = 0.99, \quad P(A|\overline{B}) = 0.001.

我们现在的目的是求 $P(B|A)$ 。由贝叶斯公式得

P(B|A) = \frac{P(B)P(A|B)}{P(B)P(A|B) + P(\overline{B})P(A|\overline{B})}

= \frac{0.0004 \times 0.99}{0.0004 \times 0.99 + 0.9996 \times 0.001} = 0.284.