例 7.2.4

假定 $x \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，且 $x$ 与 $y$ 独立，这里假定两个总体的方差相等是合理的。

方法一：两样本 $t$ 检验

记两种种子的单位产量的样本均值分别为 $\bar{x}, \bar{y}$，样本方差分别为 $s_x^2, s_y^2$。检验问题：

$$H_0: \mu_1 = \mu_2 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu_1 \neq \mu_2$$

在假设 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$ 下，采用二样本 $t$ 检验，检验统计量 $t_1$ 与拒绝域 $W_1$ 分别是

$$t_1 = \frac{\bar{x} - \bar{y}}{s_w / \sqrt{n/2}}, \quad W_1 = \{|t_1| > t_{1-\alpha/2}(2n-2)\},$$

其中 $s_w^2 = (s_x^2 + s_y^2)/2$。由给出的数据可算得

$$\bar{x} = 33.1, \quad \bar{y} = 35.7, \quad s_x^2 = 33.2111, \quad s_y^2 = 14.2333, \quad s_w^2 = 23.7222,$$

从而可算得两样本的 $t$ 检验统计量的值（$s_w = \sqrt{23.7222} = 4.8705$）

$$t_{10} = \frac{33.1 - 35.7}{4.8705 / \sqrt{10/2}} = -1.1937.$$

若给定 $\alpha = 0.05$，查表得 $t_{0.975}(18) = 2.1009$，由于 $|t_{10}| < 2.1009$，故不应拒绝原假设，即认为两种种子的单位产量平均值没有显著差别。此处检验的 $p$ 值为 0.2480。

方法二：成对数据的 $t$ 检验

在这个问题中出现了成对数据，同一块土地上用两种种子得两个产量，其差 $d_i = x_i - y_i$（$i = 1, 2, \cdots, 10$）排除了土质差异这个不可控因素的影响，主要反映两种种子的优劣。

在正态性假定下，$d = x - y \sim N(\mu, \sigma_d^2)$，其中 $\mu = \mu_1 - \mu_2$，$\sigma_d^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2$。原先要比较 $\mu_1$ 与 $\mu_2$ 的大小，如今则转化为考察 $\mu$ 是否为零，即考察如下检验问题：

$$H_0: \mu = 0 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu \neq 0,$$

即把双样本的检验问题转化为单样本 $t$ 检验问题。这时检验的 $t$ 统计量为

$$t_2 = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}},$$

其中

$$\bar{d} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} d_i, \quad s_d = \left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(d_i - \bar{d})^2\right)^{1/2}.$$

在给定显著性水平 $\alpha$ 下，该检验问题的拒绝域是

$$W_2 = \{|t_2| \geqslant t_{1-\alpha/2}(n-1)\}.$$

在本例中可算得

$$n = 10, \quad \bar{d} = -2.6, \quad s_d = 3.5024,$$

于是

$$t_{20} = \frac{-2.6}{3.5024 / \sqrt{10}} = \frac{-2.6}{1.1076} = -2.3475.$$

对给定的显著性水平 $\alpha = 0.05$，可查表得 $t_{0.975}(9) = 2.2622$。由于 $|t_{20}| > 2.2622$，故应拒绝原假设 $H_0: \mu = 0$，即可认为两种种子的平均单位产量有显著差异，此处检验的 $p$ 值为 0.0435。进一步，平均单位产量差的估计量为 $\hat{\mu} = \bar{x} - \bar{y} = -2.6$，可见种子 $y$ 要比种子 $x$ 的平均单位产量高。

两种方法的比较

本问题中两种处理方法得到完全不同的结论，我们指出成对数据 $t$ 检验方法更加合理。这是因为成对数据的差 $d_i$ 已消除了试验单元（如土质）之间的差别，从而用于检验的标准差 $s_d = 3.5024$ 已排除土质差异的影响，只保留种子间的差异。而二样本 $t$ 检验中用于检验的标准差 $s_w = 4.8705$ 还含有土质差异，从而使得标准差增大，导致因子不显著。所以成对数据场合化为单样本 $t$ 检验所作的结论更可信些。

应注意，成对数据的获得事先要作周密的安排（即试验设计）。在获得成对数据时不能发生"错位"，从而准确获得"成对数据"的信息。