例 1.2.10

由于是将线段任意分成三段，所以由等可能性知这是一个几何概率问题。分别用 $x$，$y$ 和 $a-x-y$ 表示线段被分成的三段长度（见图 1.2.7），则显然应该有

$$0<x<a, \quad 0<y<a, \quad 0<a-(x+y)<a.$$

第三个式子等价于 $0<x+y<a$。所以样本空间为（见图 1.2.8）

$$\varOmega = \{(x,y): 0<x<a,\ 0<y<a,\ 0<x+y<a\}.$$

$\varOmega$ 的面积为

$$S_\varOmega = \frac{a^2}{2}.$$

又根据构成三角形的条件：三角形中任意两边之和大于第三边，得事件 $A$ 所含样本点 $(x,y)$ 必须同时满足

$$\begin{aligned} 0 &< a-(x+y) < x+y, \\ 0 &< x < y+(a-x-y), \\ 0 &< y < x+(a-x-y). \end{aligned}$$

整理得

$$\frac{a}{2} < x+y < a, \quad 0<x<\frac{a}{2}, \quad 0<y<\frac{a}{2}.$$

所以事件 $A$ 可用图 1.2.9 中的阴影部分表示。

事件 $A$ 的面积为

$$S_A = \frac{a^2}{8}.$$

由此得

$$P(A) = \frac{1}{4}.$$