例 6.3.5

似然函数

$$L(\theta) = \frac{1}{\theta^n}\prod_{i=1}^{n}I_{\{0 < x_i \leqslant \theta\}} = \frac{1}{\theta^n}I_{\{x_{(n)} \leqslant \theta\}},$$

要使 $L(\theta)$ 达到最大，首先示性函数取值应该为 1，其次是 $1/\theta^n$ 尽可能大。由于 $1/\theta^n$ 是 $\theta$ 的单调减函数，所以 $\theta$ 的取值应尽可能小，但示性函数为 1 决定了 $\theta$ 不能小于 $x_{(n)}$，由此给出 $\theta$ 的最大似然估计

$$\hat{\theta} = x_{(n)}.$$

最大似然估计有一个简单而有用的性质：如果 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的最大似然估计，则对任一函数 $g(\theta)$，$g(\hat{\theta})$ 是其最大似然估计。该性质称为最大似然估计的不变性，从而使一些复杂结构的参数的最大似然估计的获得变得容易了。