例 1.5.6

设 $S_i$ = "第 $i$ 个系统正常工作"，$A_i$ = "第 $i$ 个元件正常工作"。

（1） 对串联系统而言，"系统正常工作"相当于"所有元件正常工作"，即 $S_1 = A_1 A_2$，所以

$$P(S_1) = P(A_1 A_2) = P(A_1)P(A_2) = p^2 = 0.81.$$

这也可看出：两个正常工作概率为 0.9 的元件组成的串联系统，其系统正常工作的概率下降为 0.81。

（2） 对并联系统而言，"系统正常工作"相当于"至少一个元件正常工作"，即 $S_2 = A_1 \cup A_2$，所以

$$P(S_2) = P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 A_2) = p + p - p^2 = 0.99.$$

或

$$P(S_2) = 1 - P(\overline{S_2}) = 1 - P(\overline{A_1} \cup A_2) = 1 - P(\overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = 1 - P(\overline{A_1})P(\overline{A_2}) = 1 - (1 - p)^2 = 0.99.$$

这也可看出：两个正常工作概率为 0.9 的元件组成的并联系统，其系统正常工作的概率提高至 0.99。

（3） 在桥式系统中，第 3 个元件是关键，我们先用全概率公式得

$$P(S_3) = P(A_3)P(S_3 | A_3) + P(\overline{A_3})P(S_3 | \overline{A_3}).$$

因为在"第 3 个元件正常工作"的条件下，系统成为先并后串系统（见图 1.5.1）。所以

$$P(S_3 | A_3) = P((A_1 \cup A_4)(A_2 \cup A_5)) = P(A_1 \cup A_4)P(A_2 \cup A_5) = [1 - (1-p)^2]^2 = 0.9801.$$

又因为在"第 3 个元件不正常工作"的条件下，系统成为先串后并系统（见图 1.5.2）。所以

$$P(S_3 | \overline{A_3}) = P(A_1 A_2 \cup A_4 A_5) = 1 - (1 - p^2)^2 = 0.9639.$$

最后得

$$P(S_3) = p[1 - (1-p)^2]^2 + (1-p)[1 - (1-p^2)^2] = 0.9 \times 0.9801 + 0.1 \times 0.9639 = 0.97845.$$