例 2.5.4

medium一级题目发布者: ai-batch

题干

设随机变量 $X$ 服从 $(0,10)$ 上的均匀分布，现对 $X$ 进行 4 次独立观测，试求至少有 3 次观测值大于 5 的概率。

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设随机变量 $Y$ 是 4 次独立观测中观测值大于 5 的次数，则 $Y \sim b(4, p)$ ，其中 $p = P(X > 5)$ 。由 $X \sim U(0, 10)$ ，知 $X$ 的密度函数为

p(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{10}, & 0 < x < 10, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}

所以

p = P(X > 5) = \int_5^{10} \frac{1}{10} \mathrm{d}x = \frac{1}{2}

于是

P(Y \geqslant 3) = \binom{4}{3} p^3(1-p) + \binom{4}{4} p^4 = 4\left(\frac{1}{2}\right)^4 + \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{5}{16}