例 3.4.4

直接写出 $X$ 的分布列较为困难，其原因在于：若第 $i$ 种颜色的球被取到过，则此种颜色的球又可被取到过一次、二次……$n$ 次，情况较多，而其对立事件"第 $i$ 种颜色的球没被取到过"的概率容易写出为

$$P(\text{第 } i \text{ 种颜色的球在 } n \text{ 次摸球中一次也没被摸到}) = \left(1-\frac{1}{m}\right)^n.$$

为此令

$$X_i = \begin{cases} 1, & \text{第 } i \text{ 种颜色的球在 } n \text{ 次摸球中至少被摸到一次，} \\ 0, & \text{第 } i \text{ 种颜色的球在 } n \text{ 次摸球中一次也没被摸到，} \end{cases} \quad i=1,2,\cdots,m.$$

这些 $X_i$ 相当于是计数器，分别记录下第 $i$ 种颜色的球是否被取到过，而 $X$ 是取到过的不同颜色总数，所以 $X=\sum_{i=1}^m X_i$。由

$$P(X_i=0) = \left(1-\frac{1}{m}\right)^n,$$

可得

$$E(X_i) = P(X_i=1) = 1-P(X_i=0) = 1-\left(1-\frac{1}{m}\right)^n,$$

所以

$$E(X) = mE(X_i) = m\left[1-\left(1-\frac{1}{m}\right)^n\right].$$

譬如，在 $m=n=6$ 时，

$$E(X) = 6\left[1-\left(\frac{5}{6}\right)^6\right] = 3.99 \approx 4,$$

这表明袋中有 6 个不同颜色的球，从中有放回地摸取 6 次，平均只能摸到 4 种颜色的球。