例 6.6.2

我们采用枢轴量法分三步进行。

（1）已知 $\theta$ 的最大似然估计为样本的最大次序统计量 $x_{(n)}$，而 $x_{(n)}/\theta$ 的密度函数为

$$p(y;\theta) = ny^{n-1}, \quad 0 < y < 1,$$

它与参数 $\theta$ 无关，故可取 $x_{(n)}/\theta$ 作为枢轴量 $G$。

（2）由于 $x_{(n)}/\theta$ 的分布函数为 $F(y) = y^n$，$0 < y < 1$，故 $P(c \leqslant x_{(n)}/\theta \leqslant d) = d^n - c^n$，因此我们可以选择适当的 $c$ 和 $d$ 满足

$$d^n - c^n = 1 - \alpha.$$

（3）利用不等式变形可容易地给出 $\theta$ 的 $1-\alpha$ 同等置信区间为 $[x_{(n)}/d,\, x_{(n)}/c]$，该区间的平均长度为 $\left(\dfrac{1}{c} - \dfrac{1}{d}\right)E(x_{(n)})$。不难看出，在 $0 \leqslant c < d \leqslant 1$ 及 $d^n - c^n = 1-\alpha$ 的条件下，当 $d = 1$，$c = \sqrt[n]{\alpha}$ 时，$\dfrac{1}{c} - \dfrac{1}{d}$ 取最小值，这说明 $\left[x_{(n)},\, x_{(n)}/\sqrt[n]{\alpha}\right]$ 是 $\theta$ 的此类区间估计中置信水平为 $1-\alpha$ 最短置信区间。