例 3.4.5

二项分布的数学期望和方差在第二章中已经求得，但其计算过程较为复杂。在此用另一种简便的方法求之。令 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立，诸 $X_i$ 都服从二点分布 $b(1,p)$，则

$$E(X_i) = p, \quad \mathrm{Var}(X_i) = p(1-p),$$

且 $X = X_1+X_2+\cdots+X_n \sim b(n,p)$，由此得

$$E(X) = E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n E(X_i) = np.$$ $$\mathrm{Var}(X) = \mathrm{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathrm{Var}(X_i) = \sum_{i=1}^n p(1-p) = np(1-p).$$

譬如，72 次掷骰子中 6 点出现次数 $X \sim b(72,1/6)$，平均次数 $E(X)=72/6=12$，方差 $\mathrm{Var}(X)=(72/6)\times(5/6)=10$，标准差 $\sigma(X)=\sqrt{10} = 3.16$。