例 6.3.2

medium一级题目发布者: ai-batch

题干

设产品分为合格品与不合格品两类，我们用一个随机变量 $X$ 来表示某个产品经检查后的不合格品数，即 $X=0$ 表示合格品， $X=1$ 表示不合格品，则 $X$ 服从二点分布 $b(1,p)$ ，其中 $p$ 是未知的不合格品率。现抽取 $n$ 个产品看其是否合格，得到样本 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 。

试求不合格品率 $p$ 的最大似然估计。

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解析

这批观测值发生的概率为

P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \cdots, X_n = x_n; p) = \prod_{i=1}^{n} p^{x_i}(1-p)^{1-x_i} = p^{\sum_{i=1}^{n} x_i}(1-p)^{n - \sum_{i=1}^{n} x_i},

由于 $p$ 是未知的，根据最大似然原理，我们应选择 $p$ 使得上式表示的概率尽可能大。将上式看作未知参数 $p$ 的函数，用 $L(p)$ 表示，称作似然函数，亦即

L(p) = p^{\sum_{i=1}^{n} x_i}(1-p)^{n - \sum_{i=1}^{n} x_i},

要求上式的最大值点不是难事，将上式两端取对数并关于 $p$ 求导令其为 0，即得如下方程，又称似然方程：

\left.\frac{\partial \ln L(p)}{\partial p}\right|_{\hat{p}} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{\hat{p}} - \frac{n - \sum_{i=1}^{n} x_i}{1-\hat{p}} = 0.

解之即得 $p$ 的最大似然估计，为

\hat{p} = \hat{p}(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} x_i / n = \bar{x}.

例 6.3.2

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