例 6.6.5

此处正态总体标准差未知，可使用 $t$ 分布求均值的置信区间。本例中经计算有 $\bar{x} = 4.709\,2$，$s^2 = 0.061\,5$。取 $\alpha = 0.05$，查表知 $t_{0.975}(11) = 2.201\,0$，于是平均寿命的 0.95 置信区间为

$$4.709\,2 \pm 2.201\,0 \cdot \sqrt{0.061\,5}\,/\sqrt{12} = [4.551\,6,\; 4.866\,8].$$

在实际问题中，由于轮胎的寿命越长越好，因此可以只求平均寿命的置信下限，也即构造单侧的置信下限。由于

$$P\!\left(\frac{\sqrt{n}(\bar{x}-\mu)}{s} < t_{1-\alpha}(n-1)\right) = 1-\alpha.$$

由不等式变形可知 $\mu$ 的 $1-\alpha$ 置信下限为 $\bar{x} - t_{1-\alpha}(n-1)\,s/\sqrt{n}$。将 $t_{0.95}(11) = 1.795\,9$ 代入计算可得平均寿命 $\mu$ 的 0.95 置信下限为 $4.580\,6$（万千米）。