例 1.2.5

因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间 $\Omega$ 含有 $\binom{35}{7}$ 个样本点。要中奖应把抽取看成是在三种类型中抽取：

第一类号码：7 个基本号码。

第二类号码：1 个特殊号码。

第三类号码：27 个其他号码。

注意到例 1.2.3 中是在两类元素（合格品和不合格品）中抽取，如今在三类号码中抽取，若记 $p_i$ 为中第 $i$ 等奖的概率（$i = 1, 2, \cdots, 7$），仿照例 1.2.3 的方法，可得各等奖的中奖概率如下：

$$p_1 = \frac{\binom{7}{7}\binom{1}{0}\binom{27}{0}}{\binom{35}{7}} = \frac{1}{6\,724\,520} = 0.149 \times 10^{-6},$$ $$p_2 = \frac{\binom{7}{6}\binom{1}{1}\binom{27}{0}}{\binom{35}{7}} = \frac{7}{6\,724\,520} = 1.04 \times 10^{-6},$$ $$p_3 = \frac{\binom{7}{6}\binom{1}{0}\binom{27}{1}}{\binom{35}{7}} = \frac{189}{6\,724\,520} = 28.106 \times 10^{-6},$$ $$p_4 = \frac{\binom{7}{5}\binom{1}{1}\binom{27}{1}}{\binom{35}{7}} = \frac{567}{6\,724\,520} = 84.318 \times 10^{-6},$$ $$p_5 = \frac{\binom{7}{5}\binom{1}{0}\binom{27}{2}}{\binom{35}{7}} = \frac{7\,371}{6\,724\,520} = 1.096 \times 10^{-3},$$ $$p_6 = \frac{\binom{7}{4}\binom{1}{1}\binom{27}{2}}{\binom{35}{7}} = \frac{12\,285}{6\,724\,520} = 1.827 \times 10^{-3},$$ $$p_7 = \frac{\binom{7}{4}\binom{1}{0}\binom{27}{3} + \binom{7}{3}\binom{1}{1}\binom{27}{3}}{\binom{35}{7}} = \frac{204\,750}{6\,724\,520} = 30.448 \times 10^{-3}.$$

若记 $A$ 为事件"中奖"，则 $\bar{A}$ 为事件"不中奖"，且由 $P(A) + P(\bar{A}) = P(\Omega) = 1$ 可得

$$P(\text{中奖}) = P(A) = p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6 + p_7 = \frac{225\,170}{6\,724\,520} = 0.033\,485,$$ $$P(\text{不中奖}) = P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 0.966\,515.$$

这就说明：一百个人中约有 3 人中奖，而中头奖的概率只有 $0.149 \times 10^{-6}$，即两千万个人中约有 3 人中头奖。因此购买彩票要有平常心，期望值不宜过高。