例 7.3.3

这是关于不合格品率 $\theta$ 的检验，假设为

$$H_0: \theta \leqslant 0.1 \quad \text{vs} \quad H_1: \theta > 0.1,$$

我们可以仿例 7.3.1 的方法求拒绝域，但要把此拒绝域找出来是困难的，如今 $n = 80$ 比较大，因此可采用大样本检验方法。由 (7.3.6) 式，$\theta_0 = 0.1$，$\sigma^2(\hat{\theta}) = \hat{\theta}(1-\hat{\theta}) = \dfrac{11}{80} \times \dfrac{69}{80} = 0.1186$，

检验统计量为

$$u_0 = \frac{\sqrt{80}\left(\dfrac{11}{80} - 0.1\right)}{\sqrt{0.1186}} = 0.9739.$$

若取 $\alpha = 0.05$，则 $u_{0.95} = 1.645$，故拒绝域为 $W = \{u \geqslant 1.645\}$。如今 $u_0 = 0.9739$ 未落入拒绝域，故不能拒绝原假设，可以认为不合格品率仍为 10%。

此处检验的近似的 $p$ 值为 0.1651，而精确的 $p$ 值为 0.1734，两者相差不大。