例 6.6.1

由该样本可以算得

$$\bar{x} = 14.705, \quad s = 1.843.$$

（1） 取 $\alpha = 0.10$，则 $t_{0.95}(9) = 1.833\;1$，置信区间化为

$$[\bar{x} - 0.579\;7s, \quad \bar{x} + 0.579\;7s].$$

代入数据得 $\mu$ 的一个区间估计为

$$[14.705 - 0.579\;7 \times 1.843,\; 14.705 + 0.579\;7 \times 1.843] = [13.637,\; 15.773],$$

该区间包含 $\mu$ 的真值 15。若重复这样的方法 100 次，可以得到 100 个区间，其中约有 91 个包含参数真值 15，另外 9 个不包含参数真值。这是置信水平 $1-\alpha = 0.90$ 的一个合理解释。

（2） 取 $\alpha = 0.50$，则 $t_{0.75}(9) = 0.702\;7$，于是 $\mu$ 的置信水平为 0.50 的置信区间为

$$[\bar{x} - 0.222\;2s, \quad \bar{x} + 0.222\;2s].$$

代入数据得 $\mu$ 的区间估计为

$$[14.705 - 0.222\;2 \times 1.843,\; 14.705 + 0.222\;2 \times 1.843] = [14.295,\; 15.115],$$

该区间也包含了参数真值。

（3） 置信水平的含义：若重复抽样 100 次产生 100 个置信区间，置信水平为 0.90 时约有 90 个区间包含参数真值；置信水平为 0.50 时约有 50 个区间包含参数真值。当然，若换 100 个样本，也不一定正好 50% 包含真值，但应差不多，譬如 49 个或 51 个都是合理的。