例 3.2.3

首先识别 $p(x, y)$ 的非零区域，它如图 3.2.1 所示。

(1) 求 $p_X(x)$。

当 $x \leqslant 0$ 或 $x \geqslant 1$ 时，有 $p_X(x) = 0$。而当 $0 < x < 1$ 时，有

$$p_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x, y)\,\mathrm{d}y = \int_{-x}^{x} \mathrm{d}y = 2x.$$

所以 $X$ 的边际密度函数为（见图 3.2.2）

$$p_X(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

再求 $p_Y(y)$。

当 $y \leqslant -1$ 或 $y \geqslant 1$ 时，有 $p_Y(y) = 0$。而当 $-1 < y < 0$ 时，有

$$p_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x, y)\,\mathrm{d}x = \int_{-y}^{1} \mathrm{d}x = 1 + y,$$

当 $0 < y < 1$ 时，有

$$p_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x, y)\,\mathrm{d}x = \int_{y}^{1} \mathrm{d}x = 1 - y.$$

所以 $Y$ 的边际密度函数为（见图 3.2.3）

$$p_Y(y) = \begin{cases} 1 + y, & -1 < y < 0, \\ 1 - y, & 0 < y < 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

(2) 要求的概率分别为

$$P\!\left(X < \frac{1}{2}\right) = \int_{-\infty}^{1/2} p_X(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^{1/2} 2x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{4}.$$ $$P\!\left(Y > \frac{1}{2}\right) = \int_{1/2}^{\infty} p_Y(y)\,\mathrm{d}y = \int_{1/2}^{1} (1 - y)\,\mathrm{d}y = \frac{1}{8}.$$