例 7.2.3

用 $X$ 表示镍合金的硬度，$Y$ 表示铜合金的硬度，则由假定，$X \sim N(\mu_1, \sigma^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma^2)$，要检验的假设是：$H_0: \mu_1 = \mu_2$ vs $H_1: \mu_1 > \mu_2$。由于两者方差未知但相等，故采用两样本 $t$ 检验，经计算，

$$\bar{x} = 73.39, \quad \bar{y} = 68.2756,$$ $$\sum_{i=1}^{8}(x_i - \bar{x})^2 = 191.7958, \quad \sum_{i=1}^{9}(y_i - \bar{y})^2 = 91.1548,$$

从而

$$s_w = \sqrt{\frac{1}{8+9-2}(191.7958 + 91.1548)} = 4.3432,$$ $$t_0 = \frac{73.39 - 68.2756}{4.3432 \times \sqrt{\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{9}}} = 2.4234,$$

查表知 $t_{0.95}(15) = 1.7531$，由于 $t_0 > t_{0.95}(15)$，故拒绝原假设，可判断镍合金硬度有显著提高。

下面用 $p$ 值再作一次检验。此处 $t_0 = 2.4234$，因 $t$ 是服从自由度是 15 的 $t$ 分布的随机变量，则

$$p = P(t \geqslant 2.4234),$$

利用统计软件可计算出具体 $p$ 值为 0.0142，由于 $p$ 值小于事先给定的显著性水平 0.05，故拒绝原假设，结论是相同的。