例 3.3.10

因为

$$\begin{cases} u = x + y, \\ v = x - y \end{cases}$$

的反函数为

$$\begin{cases} x = \dfrac{u+v}{2}, \\[6pt] y = \dfrac{u-v}{2}, \end{cases}$$

则

$$J = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\[6pt] \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{vmatrix} = -\frac{1}{2}.$$

所以得 $(U, V)$ 的联合密度函数为

$$p(u,v) = p(x(u,v), y(u,v))\,|J| = p_X\!\left(\frac{u+v}{2}\right) p_Y\!\left(\frac{u-v}{2}\right) \left|-\frac{1}{2}\right|$$ $$= \frac{1}{2\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left\{-\frac{[(u+v)/2-\mu]^2}{2\sigma^2}\right\} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left\{-\frac{[(u-v)/2-\mu]^2}{2\sigma^2}\right\}$$ $$= \frac{1}{4\pi\sigma^2} \exp\left\{-\frac{(u-2\mu)^2 + v^2}{4\sigma^2}\right\}.$$

这正是二元正态分布 $N(2\mu, 0, 2\sigma^2, 2\sigma^2, 0)$ 的密度函数，其边际分布为 $U \sim N(2\mu, 2\sigma^2)$，$V \sim N(0, 2\sigma^2)$，所以由 $p(u,v) = p_U(u)p_V(v)$ 知 $U$ 与 $V$ 相互独立。

注意：在变量变换法中，并没有要求 $X$ 与 $Y$ 是独立的。所以例 3.3.10 可改成 $(X, Y)$ 服从二元正态分布，仍可以计算得 $(U, V)$ 服从二元正态分布。进一步我们可得：多元正态变量经线性变换后仍是多元正态变量。这个结论在统计中经常用到。