例 2.5.5medium一级题目发布者: ai-batch题干如果某设备在长为 ttt 的时间 (0,t](0, t](0,t] 内发生故障的次数 N(t)N(t)N(t)（与时间长度 ttt 有关）服从参数为 λt\lambda tλt 的泊松分布，试证首次发生故障的时间 TTT 服从参数为 λ\lambdaλ 的指数分布。答案点击展开后可查看解析解析设 N(t)∼P(λt)N(t) \sim P(\lambda t)N(t)∼P(λt)，即 P(N(t)=k)=(λt)kk!e−λt,k=0,1,⋯P(N(t) = k) = \frac{(\lambda t)^k}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda t}, \quad k = 0, 1, \cdotsP(N(t)=k)=k!(λt)ke−λt,k=0,1,⋯ 注意到首次发生故障的时间 TTT 是非负随机变量，且事件 {T>t}\{T > t\}{T>t} 说明此设备在 (0,t](0, t](0,t] 内没有发生故障，即 {T⩾t}={N(t)=0}\{T \geqslant t\} = \{N(t) = 0\}{T⩾t}={N(t)=0}，由此我们得 当 t<0t < 0t<0 时，有 FT(t)=P(T⩽t)=0F_T(t) = P(T \leqslant t) = 0FT(t)=P(T⩽t)=0； 当 t⩾0t \geqslant 0t⩾0 时，有 FT(t)=P(T⩽t)=1−P(T>t)=1−P(N(t)=0)=1−e−λtF_T(t) = P(T \leqslant t) = 1 - P(T > t) = 1 - P(N(t) = 0) = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda t}FT(t)=P(T⩽t)=1−P(T>t)=1−P(N(t)=0)=1−e−λt 所以 T∼Exp(λ)T \sim Exp(\lambda)T∼Exp(λ)。