例 3.3.4medium一级题目发布者: ai-batch题干设 X1,X2,⋯ ,XnX_1, X_2, \cdots, X_nX1,X2,⋯,Xn 是相互独立的 nnn 个随机变量，若 Y=max{X1,X2,⋯ ,Xn}Y = \max\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}Y=max{X1,X2,⋯,Xn}。试在以下情况下求 YYY 的分布： （1）Xi∼Fi(x)X_i \sim F_i(x)Xi∼Fi(x)，i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, ni=1,2,⋯,n； （2）诸 XiX_iXi 同分布，即 Xi∼F(x)X_i \sim F(x)Xi∼F(x)，i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, ni=1,2,⋯,n； （3）诸 XiX_iXi 为连续随机变量，且诸 XiX_iXi 同分布，即 XiX_iXi 的密度函数均为 p(x)p(x)p(x)，i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, ni=1,2,⋯,n； （4）Xi∼Exp(λ)X_i \sim Exp(\lambda)Xi∼Exp(λ)，i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, ni=1,2,⋯,n。答案点击展开后可查看解析解析（1） Y=max{X1,X2,⋯ ,Xn}Y = \max\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}Y=max{X1,X2,⋯,Xn} 的分布函数为 FY(y)=P(max{X1,X2,⋯ ,Xn}⩽y)=P(X1⩽y,X2⩽y,⋯ ,Xn⩽y)F_Y(y) = P(\max\{X_1, X_2, \cdots, X_n\} \leqslant y) = P(X_1 \leqslant y, X_2 \leqslant y, \cdots, X_n \leqslant y)FY(y)=P(max{X1,X2,⋯,Xn}⩽y)=P(X1⩽y,X2⩽y,⋯,Xn⩽y) =P(X1⩽y)P(X2⩽y)⋯P(Xn⩽y)=∏i=1nFi(y).= P(X_1 \leqslant y)P(X_2 \leqslant y)\cdots P(X_n \leqslant y) = \prod_{i=1}^n F_i(y).=P(X1⩽y)P(X2⩽y)⋯P(Xn⩽y)=i=1∏nFi(y). （2） 将 XiX_iXi 的共同分布函数 F(x)F(x)F(x) 代入上式得 FY(y)=[F(y)]n.F_Y(y) = [F(y)]^n.FY(y)=[F(y)]n. （3） YYY 的分布函数仍为上式，密度函数可对上式关于 yyy 求导得 pY(y)=FY′(y)=n[F(y)]n−1p(y).p_Y(y) = F_Y'(y) = n[F(y)]^{n-1} p(y).pY(y)=FY′(y)=n[F(y)]n−1p(y). （4） 将 Exp(λ)Exp(\lambda)Exp(λ) 的分布函数和密度函数代入 (3) 式得 FY(y)={0,y<0,(1−e−λy)n,y⩾0.F_Y(y) = \begin{cases} 0, & y < 0, \\ (1-\mathrm{e}^{-\lambda y})^n, & y \geqslant 0. \end{cases}FY(y)={0,(1−e−λy)n,y<0,y⩾0. pY(y)={0,y<0,n(1−e−λy)n−1λe−λy,y⩾0.p_Y(y) = \begin{cases} 0, & y < 0, \\ n(1-\mathrm{e}^{-\lambda y})^{n-1} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda y}, & y \geqslant 0. \end{cases}pY(y)={0,n(1−e−λy)n−1λe−λy,y<0,y⩾0.