例 6.1.2

由定理 5.4.1 知，$Y = \dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，其密度函数为

$$p(y) = \frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}}\Gamma\!\left(\dfrac{n-1}{2}\right)} y^{\frac{n-1}{2}-1} \mathrm{e}^{-\frac{y}{2}}, \quad y > 0.$$

从而

$$E(Y^{1/2}) = \int_0^\infty y^{1/2} p(y)\,\mathrm{d}y = \frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}}\Gamma\!\left(\dfrac{n-1}{2}\right)} \int_0^\infty y^{\frac{n}{2}-1} \mathrm{e}^{-\frac{y}{2}}\,\mathrm{d}y = \frac{2^{\frac{n}{2}}\Gamma\!\left(\dfrac{n}{2}\right)}{2^{\frac{n-1}{2}}\Gamma\!\left(\dfrac{n-1}{2}\right)} = \sqrt{2}\,\frac{\Gamma\!\left(\dfrac{n}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\dfrac{n-1}{2}\right)}.$$

由此，我们有

$$E(s) = \frac{\sigma}{\sqrt{n-1}}E(Y^{1/2}) = \sqrt{\frac{2}{n-1}} \cdot \frac{\Gamma(n/2)}{\Gamma((n-1)/2)}\,\sigma \equiv \frac{\sigma}{c_n}.$$

这说明 $s$ 不是 $\sigma$ 的无偏估计，利用修正技术可得 $c_n s$ 是 $\sigma$ 的无偏估计，其中 $c_n = \sqrt{\dfrac{n-1}{2}} \cdot \dfrac{\Gamma((n-1)/2)}{\Gamma(n/2)}$ 是修偏系数。可以证明，当 $n \to \infty$ 时有 $c_n \to 1$，这说明 $s$ 是 $\sigma$ 的渐近无偏估计，从而在样本容量较大时，不经修正的 $s$ 也是 $\sigma$ 的一个很好的估计。