例 2.1.8

medium一级题目发布者: ai-batch

题干

例 2.1.8 某种型号电子元件的寿命 $X$ （以 h 计）具有以下的概率密度函数：

p(x) = \begin{cases} \dfrac{1000}{x^2}, & x > 1000, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}

现有一大批此种元件（设各元件工作相互独立），问：

（1）任取 1 只，其寿命大于 1500 h 的概率是多少？

（2）任取 4 只，4 只寿命都大于 1500 h 的概率是多少？

（3）任取 4 只，其中至少有 1 只寿命大于 1500 h 的概率是多少？

（4）若已知 1 只元件的寿命大于 1500 h，则该元件的寿命大于 2000 h 的概率是多少？

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先计算 $X$ 的分布函数，

F(x) = \int_{1000}^{x} p(t) \, \mathrm{d}t = -\frac{1000}{t} \bigg|_{1000}^{x} = 1 - \frac{1000}{x}, \quad x > 1000.

（1） $P(X > 1500) = 1 - F(1500) = 1 - \left(1 - \dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{2}{3}.$

（2）各元件工作独立，因此所求概率为

P(\text{4 只元件寿命都大于 1500}) = [P(X > 1500)]^4 = [1 - F(1500)]^4 = \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}.

（3）所求概率为

P(\text{4 只中至少有 1 只寿命大于 1500}) = 1 - P(\text{4 只元件寿命都小于或等于 1500})

= 1 - [F(1500)]^4 = 1 - \left(1 - \frac{2}{3}\right)^4 = \frac{80}{81}.

（4）这是求条件概率 $P(X > 2000 \mid X > 1500)$ ，记

A = \{X > 1500\}, \quad B = \{X > 2000\}.

因为 $P(A) = 2/3$ ， $P(B) = 1/2$ ，且 $B \subset A$ ，所以

P(B \mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{P(B)}{P(A)} = \frac{3}{4}.