例 6.1.1

对此，有如下两点说明：

（1）当样本量趋于无穷时，有 $E(s_n^2) \to \sigma^2$，我们称 $s_n^2$ 为 $\sigma^2$ 的渐近无偏估计，这表明当样本量较大时，$s_n^2$ 可近似看作 $\sigma^2$ 的无偏估计。

（2）若对 $s_n^2$ 作如下修正：

$$s^2 = \frac{ns_n^2}{n-1} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2,$$

则 $s^2$ 是总体方差的无偏估计。这种简单的修正方法在一些场合常被采用。(6.1.2) 式定义的 $s^2$ 也称为样本方差，它比 $s_n^2$ 更常用。这是因为在 $n \geqslant 2$ 时，$s_n^2 < s^2$，因此用 $s_n^2$ 估计 $\sigma^2$ 有偏小的倾向，特别在小样本场合要使用 $s^2$ 估计 $\sigma^2$。

无偏性不具有不变性。即若 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计，一般而言，其函数 $g(\hat{\theta})$ 不是 $g(\theta)$ 的无偏估计，除非 $g(\theta)$ 是 $\theta$ 的线性函数。譬如，$s^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计，但 $s$ 不是 $\sigma$ 的无偏估计。