例 1.4.9

medium一级题目发布者: ai-batch

题干

例 1.4.9 伊索寓言"孩子与狼"讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里有狼出没。第一天，他在山上喊："狼来了！狼来了！"山下的村民闻声便去打狼，可到山上，发现狼没有来；第二天仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救他，因为前两次他说了谎，人们不再相信他了。

现在用贝叶斯公式来分析此寓言中村民对这个小孩的信任程度是如何下降的。记事件 $A$ 为"小孩说谎"，记事件 $B$ 为"小孩可信"。不妨设村民过去对这个小孩的印象为

P(B) = 0.8, \quad P(\overline{B}) = 0.2.

在贝叶斯公式中我们要用到概率 $P(A|B)$ 和 $P(A|\overline{B})$ ，这两个概率的含义是：前者为"可信"（ $B$ ）的孩子"说谎"（ $A$ ）的可能性，后者为"不可信"（ $\overline{B}$ ）的孩子"说谎"（ $A$ ）的可能性。在此不妨设

P(A|B) = 0.1, \quad P(A|\overline{B}) = 0.5.

（1）第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说了谎（ $A$ ）。求村民根据这个信息，对这个小孩信任程度的改变，即求 $P(B|A)$ 。

（2）在第一次上当的基础上，小孩第二次又说谎了，求村民对他的信任程度再次如何变化。

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（1） 用贝叶斯公式计算 $P(B|A)$ ：

P(B|A) = \frac{P(B)P(A|B)}{P(B)P(A|B) + P(\overline{B})P(A|\overline{B})} = \frac{0.8 \times 0.1}{0.8 \times 0.1 + 0.2 \times 0.5} = 0.444.

这表明村民上了一次当后，对这个小孩的信任程度由原来的 0.8 调整为 0.444，也就是式（1.4.7）调整为

P(B) = 0.444, \quad P(\overline{B}) = 0.556.

（2） 在此基础上，我们再一次用贝叶斯公式来计算 $P(B|A)$ ，亦即这个小孩第二次说谎后，村民对他的信任程度改变为

P(B|A) = \frac{0.444 \times 0.1}{0.444 \times 0.1 + 0.556 \times 0.5} = 0.138.

这表明村民们经过两次上当，对这个小孩的信任程度已经从 0.8 下降到了 0.138，如此低的信任度，村民听到第三次呼叫时怎么会再上山打狼呢？