例 2.7.1

$$\mu_k = E(X^k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \int_{-\infty}^{\infty} x^k \exp\!\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right\} \mathrm{d}x = \frac{\sigma^k}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u^k \exp\!\left\{-\frac{u^2}{2}\right\} \mathrm{d}u.$$

在 $k$ 为奇数时，上述被积函数是奇函数，故

$$\mu_k = 0, \quad k = 1, 3, 5, \cdots$$

在 $k$ 为偶数时，上述被积函数是偶函数，再利用变换 $z = u^2/2$，可得

$$\mu_k = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\sigma^k\,2^{(k-1)/2} \int_0^{\infty} z^{(k-1)/2}\,e^{-z}\,\mathrm{d}z = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\sigma^k\,2^{(k-1)/2}\,\Gamma\!\left(\frac{k+1}{2}\right)$$ $$= \sigma^k (k-1)(k-3)\cdots 1, \quad k = 2, 4, 6, \cdots$$

故 $N(0, \sigma^2)$ 分布的前四阶原点矩为

$$\mu_1 = 0, \quad \mu_2 = \sigma^2, \quad \mu_3 = 0, \quad \mu_4 = 3\sigma^4.$$

又因为 $E(X) = 0$，所以有原点矩等于中心矩，即 $\mu_k = \nu_k$，$k = 1, 2, \cdots$