5.4.22

设 $x_1, x_2, \ldots, x_m$ 相互独立，$x_i$ 服从 $\chi^2(n_i)$，$i=1, 2, \ldots, m$。令

$$U_1 = \frac{x_1}{x_1 + x_2},\quad U_2 = \frac{x_1 + x_2}{x_1 + x_2 + x_3},\cdots,\quad U_{m-1} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{m-1}}{x_1 + x_2 + \cdots + x_m}.$$

证明：$U_1, U_2, \ldots, U_{m-1}$ 相互独立，且 $U_i$ 服从 $\mathrm{Be}\left(\dfrac{n_1+n_2+\cdots+n_i}{2}, \dfrac{n_{i+1}}{2}\right)$，$i=1, 2, \ldots, m-1$。

（提示：令 $U_m = x_1 + x_2 + \cdots + x_m$，作变换 $x_1 = U_1 U_2 \cdots U_m$，$x_2 = U_2 U_3 \cdots U_m - U_1 U_2 \cdots U_m$，$\cdots$，$x_m = U_m - U_{m-1} U_m$。）