例 3.4.6

$X$ 与 $Y$ 的协方差为

$$\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(X, X^2) = E(X \cdot X^2) - E(X)E(X^2) = 0.$$

最后的等式是因为正态分布 $N(0, \sigma^2)$ 的奇数阶原点矩均为零，即 $E(X) = E(X^3) = 0$。

因此 $X$ 与 $Y$ 不相关。但显然 $Y = X^2$ 是由 $X$ 完全确定的，$X$ 与 $Y$ 不独立。

这个例子表明，"独立"必导致"不相关"，而"不相关"不一定导致"独立"。独立要求严，不相关要求宽。因为独立性是用分布定义的，而不相关只是用二阶矩定义的。二者之间的差别一定要认识到。

不相关与独立的逻辑关系：独立 $\subset$ 不相关（独立是不相关的充分非必要条件）。