例 3.5.8medium一级题目发布者: ai-batch题干口袋中有编号为 1,2,⋯ ,n1,2,\cdots,n1,2,⋯,n 的 nnn 个球，从中任取 1 球。若取到 1 号球，则得 1 分，且停止摸球；若取到 iii 号球（i≥2i \geq 2i≥2），则得 iii 分，且将此球放回，重新摸球。如此下去，试求得到的平均总分数。答案点击展开后可查看解析解析记 XXX 为得到的总分数，YYY 为第一次取到的球的号码，则 P(Y=1)=P(Y=2)=⋯=P(Y=n)=1n.P(Y=1) = P(Y=2) = \cdots = P(Y=n) = \frac{1}{n}.P(Y=1)=P(Y=2)=⋯=P(Y=n)=n1. 又因为 E(X∣Y=1)=1E(X \mid Y=1)=1E(X∣Y=1)=1，而当 i≥2i \geq 2i≥2 时，E(X∣Y=i)=i+E(X)E(X \mid Y=i)=i+E(X)E(X∣Y=i)=i+E(X)。所以 E(X)=∑i=1nE(X∣Y=i)P(Y=i)=1n[1+2+⋯+n+(n−1)E(X)].E(X) = \sum_{i=1}^n E(X \mid Y=i)P(Y=i) = \frac{1}{n}\left[1+2+\cdots+n+(n-1)E(X)\right].E(X)=i=1∑nE(X∣Y=i)P(Y=i)=n1[1+2+⋯+n+(n−1)E(X)]. 由此解得 E(X)=n(n+1)2.E(X) = \frac{n(n+1)}{2}.E(X)=2n(n+1).