例 3.4.10

先计算两个边际密度函数。

当 $0 < x < 0.5$ 时，

$$p_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x,y) \, \mathrm{d}y = \int_0^x \frac{8}{3} \, \mathrm{d}y = \frac{8}{3} x,$$

当 $0.5 < x < 1$ 时，

$$p_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x,y) \, \mathrm{d}y = \int_{x-0.5}^x \frac{8}{3} \, \mathrm{d}y = \frac{4}{3},$$

所以得 $X$ 的边际密度函数为

$$p_X(x) = \begin{cases} \dfrac{8}{3} x, & 0 < x < 0.5, \\[6pt] \dfrac{4}{3}, & 0.5 < x < 1, \\[6pt] 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

当 $0 < y < 0.5$ 时，

$$p_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x,y) \, \mathrm{d}x = \int_y^{y+0.5} \frac{8}{3} \, \mathrm{d}x = \frac{4}{3},$$

当 $0.5 < y < 1$ 时，

$$p_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x,y) \, \mathrm{d}x = \int_y^1 \frac{8}{3} \, \mathrm{d}x = \frac{8}{3}(1-y),$$

所以得 $Y$ 的边际密度函数为

$$p_Y(y) = \begin{cases} \dfrac{4}{3}, & 0 < y < 0.5, \\[6pt] \dfrac{8}{3}(1-y), & 0.5 < y < 1, \\[6pt] 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

然后分别计算 $X$ 与 $Y$ 的一、二阶矩

$$E(X) = \int_0^{0.5} \frac{8}{3} x^2 \, \mathrm{d}x + \int_{0.5}^1 \frac{4}{3} x \, \mathrm{d}x = \frac{11}{18},$$ $$E(Y) = \int_0^{0.5} \frac{4}{3} y \, \mathrm{d}y + \int_{0.5}^1 \frac{8}{3} y(1-y) \, \mathrm{d}y = \frac{7}{18},$$ $$E(X^2) = \int_0^{0.5} \frac{8}{3} x^3 \, \mathrm{d}x + \int_{0.5}^1 \frac{4}{3} x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{31}{72},$$ $$E(Y^2) = \int_0^{0.5} \frac{4}{3} y^2 \, \mathrm{d}y + \int_{0.5}^1 \frac{8}{3} y^2(1-y) \, \mathrm{d}y = \frac{5}{24}.$$

由此可得 $X$ 与 $Y$ 各自的方差

$$\text{Var}(X) = \frac{31}{72} - \left(\frac{11}{18}\right)^2 = \frac{37}{648},$$ $$\text{Var}(Y) = \frac{5}{24} - \left(\frac{7}{18}\right)^2 = \frac{37}{648}.$$

最后还需要计算 $E(XY)$，它只能从联合密度函数导出。

$$E(XY) = \int_0^{0.5} \int_0^x \frac{8}{3} xy \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x + \int_{0.5}^1 \int_{x-0.5}^x \frac{8}{3} xy \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x = \int_0^{0.5} \frac{4}{3} x^3 \, \mathrm{d}x + \int_{0.5}^1 \frac{4}{3} x\left(x - \frac{1}{4}\right) \mathrm{d}x$$ $$= \frac{1}{48} + \frac{7}{18} - \frac{1}{8} = \frac{41}{144}.$$

最后得协方差和相关系数为

$$\text{Cov}(X, Y) = \frac{41}{144} - \frac{11}{18} \times \frac{7}{18} = \frac{61}{1296} = 0.0471,$$ $$\text{Corr}(X, Y) = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{61}{1296} \times \frac{648}{37} = \frac{61}{74} = 0.8243.$$

这里协方差很小，但其相关系数并不小。从相关系数 $\text{Corr}(X,Y) = 0.8243$ 看，$X$ 与 $Y$ 有较高程度的正相关；但从相应的协方差 $\text{Cov}(X,Y) = 0.0471$ 看，$X$ 与 $Y$ 的相关性很微弱，几乎可以忽略不计。造成这种错觉的原因在于没有考虑标准差，若两个标准差都很小，即使协方差小一些，相关系数也能显示一定程度的相关性。由此可见，在协方差的基础上加工形成的相关系数是更为重要的相关性的特征数。