例 1.4.5

设 $A_i$ 表示事件"第 $i$ 人摸到中奖彩票"，$i = 1, 2, \cdots, n$。现在目的是求 $P(A_2)$。因为 $A_1$ 是否发生直接关系到 $A_2$ 发生的概率，即

$$P(A_2 | A_1) = 0, \quad P(A_2 | \overline{A_1}) = \frac{1}{n-1}.$$

而 $A_1$ 与 $\overline{A_1}$ 是两个概率大于 0 的事件：

$$P(A_1) = \frac{1}{n}, \quad P(\overline{A_1}) = \frac{n-1}{n}.$$

于是由全概率公式得

$$P(A_2) = P(A_1)P(A_2|A_1) + P(\overline{A_1})P(A_2|\overline{A_1}) = \frac{1}{n} \cdot 0 + \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{n-1} = \frac{1}{n}.$$

这表明：摸到中奖彩票的机会与先后次序无关。因后者可能处于"不利状况"（前者已摸到中奖彩票），但也可能处于"有利状况"（前者没摸到中奖彩票，从而增加后者摸到中奖彩票的机会），两种状况用全概率公式综合（加权平均）所得结果（机会均等）既公平又合情理。

用类似的方法可得

$$P(A_3) = P(A_4) = \cdots = P(A_n) = \frac{1}{n}.$$

如果设 $n$ 张彩票中有 $k$（$\leqslant n$）张可中奖，则可得

$$P(A_1) = P(A_2) = \cdots = P(A_n) = \frac{k}{n}.$$

这说明，购买彩票时，不论先买后买，中奖机会是均等的。