例 1.2.6

因为每个球都可放到 $N$ 个盒子中的任一个，所以 $n$ 个球放的方式共有 $N^n$ 种，它们是等可能的。

（1）因为各有一球的 $n$ 个盒子已经指定，余下的没有球的 $N-n$ 个盒子也同时被指定，所以只要考虑 $n$ 个球在这指定的 $n$ 个盒子中各放 1 个的放法数。设想第 1 个球有 $n$ 种放法，第 2 个球只有 $n-1$ 种放法，……，第 $n$ 个球只有 1 种放法，所以根据排列乘法原理，其可能总数为 $n!$，于是其概率为

$$p_1 = \frac{n!}{N^n}. \tag{1.2.8}$$

（2）与（1）的差别在于：此处 $n$ 个盒子可以在 $N$ 个盒子中任意选取。此时可分两步做：第一步从 $N$ 个盒子中任取 $n$ 个盒子准备放球，共有 $\binom{N}{n}$ 种取法；第二步将 $n$ 个球放入选中的 $n$ 个盒子中，每个盒子各放 1 球，共有 $n!$ 种放法。所以根据乘法原理共有

$$\binom{N}{n} \cdot n! = \mathrm{P}_N^n = N(N-1)(N-2)\cdots(N-n+1)$$

种放法。其实这个放法数可以更直接地考虑成：第 1 个球可放在 $N$ 个盒子中的任一个，第 2 个球只可放在余下的 $N-1$ 个盒子中的任一个，……，第 $n$ 个球只可放在余下的 $N-n+1$ 个盒子中的任一个，由乘法原理即可得以上放法数。因此所求概率为

$$p_2 = \frac{\mathrm{P}_N^n}{N^n} = \frac{N!}{N^n (N-n)!}. \tag{1.2.9}$$