例 5.2.3

① 的总体分布为均匀分布 $U(1,5)$，该总体的均值和方差分别为 3 和 $4/3$，若从该总体抽取样本容量为 30 的样本，则其样本均值的渐近分布为

$$\bar{x}_1 \overset{\cdot}{\sim} N\left(3, \frac{4}{3 \times 30}\right) = N(3, 0.21^2).$$

② 的总体分布的概率密度函数为

$$p(x) = \begin{cases} (3-x)/4, & 1 \leqslant x < 3, \\ (x-3)/4, & 3 \leqslant x \leqslant 5, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

这是一个倒三角分布，可以算得其均值与方差分别为 3 和 2，若从该总体抽取样本容量为 30 的样本，则其样本均值的渐近分布为

$$\bar{x}_2 \overset{\cdot}{\sim} N\left(3, \frac{2}{30}\right) = N(3, 0.26^2).$$

③ 的总体分布为指数分布 $Exp(1)$，其均值与方差都等于 1，若从该总体抽取样本容量为 30 的样本，则其样本均值 $\bar{x}_3$ 的分布近似为

$$\bar{x}_3 \overset{\cdot}{\sim} N\left(1, \frac{1}{30}\right) = N(1, 0.18^2).$$

这三个总体都不是正态分布，但其样本均值的分布都近似正态分布，差别表现在均值与标准差上。随着样本量的增加，样本均值 $\bar{x}$ 的抽样分布逐渐向正态分布逼近，它们的均值保持不变，而方差则缩小为原来的 $1/n$。