例 8.1.4

由计算表可求得各类偏差平方和如下（其中 $T^2/n = 180^2/10 = 3\,240$）：

$$S_T = 3\,544 - 3\,240 = 304, \quad f_T = 10-1 = 9,$$ $$S_A = 3\,498 - 3\,240 = 258, \quad f_A = 4-1 = 3,$$ $$S_e = 304 - 258 = 46, \quad f_e = 10-4 = 6.$$

方差分析表如下：

来源	平方和	自由度	均方	$F$ 比	$p$ 值
因子 $A$	258	3	86	11.21	0.007 1
误差 $e$	46	6	7.67
总和 $T$	304	9

若取 $\alpha = 0.01$，由于 $p$ 值为 0.007 1，小于 $\alpha$，故我们可认为各水平间有显著差异。

由于因子显著，我们还可以给出诸水平均值的估计。因子 $A$ 的四个水平均值的估计分别为

$$\hat{\mu}_1 = 30/2 = 15, \quad \hat{\mu}_2 = 39/3 = 13,$$ $$\hat{\mu}_3 = 57/3 = 19, \quad \hat{\mu}_4 = 54/2 = 27,$$

由此可见，第四种包装方式效果最好。误差方差的无偏估计为

$$\hat{\sigma}^2 = MS_e = 7.67.$$

进一步，利用置信区间公式（注意这里要用不同的 $m_i$ 代替相同的 $m$）。此处 $\hat{\sigma} = \sqrt{7.67} = 2.769\,5$，若取 $\alpha = 0.05$，则 $t_{1-\alpha/2}(f_e) = t_{0.975}(6) = 2.446\,9$，$t_{0.975}(6)\hat{\sigma} = 6.776\,7$，于是效果较好的第四个水平均值的 0.95 置信区间为

$$\mu_4: \quad [27 \pm 6.776\,7/\sqrt{2}] = [22.21,\; 31.79].$$