例 7.2.1

这是一个假设检验问题，总体 $X \sim N(\mu, 0.2^2)$，待检验的原假设 $H_0$ 与备择假设 $H_1$ 分别为

$$H_0: \mu = 8 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu \neq 8.$$

这是一个双侧检验问题，检验的拒绝域为 $\{|u| \geqslant u_{1-\alpha/2}\}$。取显著性水平 $\alpha = 0.05$，则查表知 $u_{0.975} = 1.96$。由该例中观测值可计算得出

$$\bar{x} = 8.15, \quad u_0 = \frac{\sqrt{5}\,(8.15 - 8)}{0.2} = 1.68,$$

$u_0$ 值未落入拒绝域 $\{|u| \geqslant 1.96\}$ 内，故不能拒绝原假设，即接受原假设，可认为猜测成立。

我们也可以采用 $p$ 值完成此次检验。此处 $u_0 = 1.68$，根据 (7.2.11) 式，

$$p = 2(1 - \Phi(1.68)) = 0.093.$$

由于 $p$ 值大于事先给定的水平 0.05，故不能拒绝原假设，结论是相同的。

进一步，我们从 $p$ 值还可以看到，只要事先给定的显著性水平不高于 0.093，则都不能拒绝原假设；而若事先给定的显著性水平高于 0.093，如事先给定的显著性水平为 0.10，则检验就会作出拒绝原假设的结论。

说明：在实际中也经常会遇到如下两个检验问题：

$$\text{IV} \quad H_0: \mu = \mu_0 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu > \mu_0,$$ $$\text{V} \quad H_0: \mu = \mu_0 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu < \mu_0.$$

它们仍可用检验统计量 $u$ 施行检验。检验问题 IV 的拒绝域与检验问题 I 的拒绝域相同，即 $W_{\text{IV}} = \{u \geqslant u_{1-\alpha}\}$。这是因为检验问题 IV 与 I 的备择假设相同，而 IV 的原假设是 I 的原假设的子集，由于此时 $u$ 检验的势函数是 $\mu$ 的单调增函数，因此检验问题 IV 的显著性水平为 $\alpha$ 的检验与检验问题 I 的显著性水平为 $\alpha$ 的检验是相同的，从而拒绝域也相同，它们的检验的 $p$ 值也相同。类似地，检验问题 V 与检验问题 II 的拒绝域以及 $p$ 值也是相同的。