例 5.1.5

medium一级题目发布者: ai-batch

题干

设有一批产品共 $N$ 个，需要进行抽样检验以了解其不合格品率 $p$ ，现从中抽出 $n$ 个逐一检查它们是否是不合格品。如果把合格品记为 0，不合格品记为 1，则总体为一个二点分布，

P(X=1)=p, \quad P(X=0)=1-p,

设想样本是一个一个抽出的，结果记为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 。

试问：在有放回抽样和不放回抽样两种方式下，所得样本是否为简单随机样本？在什么条件下可以将不放回抽样近似看成简单随机样本？

答案点击展开后可查看解析

如果采取有放回抽样，则 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 独立同分布，所得样本是简单随机样本。

若采取不放回抽样（实际抽样常是这种），这时第二次抽到不合格品的概率依赖于第一次抽到的是否是不合格品。如果第一次抽到不合格品，则第二次抽到不合格品的概率为

P(x_2 = 1 \mid x_1 = 1) = \frac{Np-1}{N-1},

而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合格品的概率为

P(x_2 = 1 \mid x_1 = 0) = \frac{Np}{N-1}.

显然，如此得到的样本不是简单随机样本。但是，当 $N$ 很大时，我们可以看到上述两种情形的概率都近似等于 $p$ 。所以当 $N$ 很大，而 $n$ 不大（一个经验法则是 $n/N \leqslant 0.1$ ）时可以把该样本近似地看成简单随机样本。