例 6.2.5medium一级题目发布者: ai-batch题干设 x1,x2,⋯ ,xnx_1, x_2, \cdots, x_nx1,x2,⋯,xn 是来自均匀总体 U(0,θ)U(0, \theta)U(0,θ) 的样本，证明 x(n)x_{(n)}x(n) 是 θ\thetaθ 的相合估计。答案点击展开后可查看解析解析由次序统计量的分布，我们知道 θ^=x(n)\hat{\theta} = x_{(n)}θ^=x(n) 的分布密度函数为 p(y)=nyn−1/θn,y<θ.p(y) = ny^{n-1}/\theta^n, \quad y < \theta.p(y)=nyn−1/θn,y<θ. 故有 E(θ^)=∫0θnyn dy/θn=nn+1θ→θ(n→∞),E(\hat{\theta}) = \int_0^{\theta} ny^n \, \mathrm{d}y / \theta^n = \frac{n}{n+1}\theta \to \theta \quad (n \to \infty),E(θ^)=∫0θnyndy/θn=n+1nθ→θ(n→∞), E(θ^2)=∫0θnyn+1 dy/θn=nn+2θ2,E(\hat{\theta}^2) = \int_0^{\theta} ny^{n+1} \, \mathrm{d}y / \theta^n = \frac{n}{n+2}\theta^2,E(θ^2)=∫0θnyn+1dy/θn=n+2nθ2, Var(θ^)=nn+2θ2−(nn+1θ)2=n(n+1)2(n+2)θ2→0(n→∞).\mathrm{Var}(\hat{\theta}) = \frac{n}{n+2}\theta^2 - \left(\frac{n}{n+1}\theta\right)^2 = \frac{n}{(n+1)^2(n+2)}\theta^2 \to 0 \quad (n \to \infty).Var(θ^)=n+2nθ2−(n+1nθ)2=(n+1)2(n+2)nθ2→0(n→∞). 由定理 6.2.1 可知，x(n)x_{(n)}x(n) 是 θ\thetaθ 的相合估计。