例 3.5.3

由题意知

$$P(X=m) = \frac{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda}, \quad m=0,1,2,\cdots.$$

在进入商店的人数 $X=m$ 的条件下，购买某种物品的人数 $Y$ 的条件分布为二项分布 $b(m,p)$，即

$$P(Y=k \mid X=m) = \binom{m}{k}p^k(1-p)^{m-k}, \quad k=0,1,2,\cdots,m.$$

由全概率公式有

$$\begin{aligned} P(Y=k) &= \sum_{m=k}^{\infty} P(X=m)P(Y=k \mid X=m) \\ &= \sum_{m=k}^{\infty} \frac{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda} \cdot \frac{m!}{k!(m-k)!}p^k(1-p)^{m-k} \\ &= e^{-\lambda}\sum_{m=k}^{\infty}\frac{\lambda^m}{k!(m-k)!}p^k(1-p)^{m-k} \\ &= e^{-\lambda}\frac{(\lambda p)^k}{k!}\sum_{m=k}^{\infty}\frac{[(1-p)\lambda]^{m-k}}{(m-k)!} \\ &= \frac{(\lambda p)^k}{k!}e^{-\lambda}e^{\lambda(1-p)} \\ &= \frac{(\lambda p)^k}{k!}e^{-\lambda p}, \quad k=0,1,2,\cdots. \end{aligned}$$

即 $Y$ 服从参数为 $\lambda p$ 的泊松分布。

这个例子告诉我们：在直接寻求 $Y$ 的分布有困难时，有时借助条件分布可把困难克服。