例 1.2.3

先计算样本空间 $\Omega$ 中样本点的总数：从 $N$ 件产品中任取 $n$ 件，因为不讲次序，所以样本点的总数为 $\binom{N}{n}$。又因为是随机抽取的，所以这 $\binom{N}{n}$ 个样本点是等可能的。

下面我们先计算事件 $A_0$、$A_1$ 的概率，然后再计算 $A_m$ 的概率。

因为事件 $A_0$ = "取出的 $n$ 件产品中有 0 件不合格品" = "取出的 $n$ 件产品全是合格品"，这意味着取出的 $n$ 件产品全是从 $N-M$ 件合格品中抽取，所以有 $\binom{N-M}{n}$ 种取法，故 $A_0$ 的概率为

$$P(A_0) = \frac{\binom{N-M}{n}}{\binom{N}{n}}.$$

事件 $A_1$ = "取出的 $n$ 件产品中有 1 件不合格品"，要使取出的 $n$ 件产品中只有 1 件不合格品，其他 $n-1$ 件是合格品，那么必须分两步进行：

第一步：从 $M$ 件不合格品中随机取出 1 件，共有 $\binom{M}{1}$ 种取法。

第二步：从 $N-M$ 件合格品中随机取出 $n-1$ 件，共有 $\binom{N-M}{n-1}$ 种取法。

所以根据乘法原理，$A_1$ 中共有 $\binom{M}{1}\binom{N-M}{n-1}$ 个样本点。故 $A_1$ 的概率为

$$P(A_1) = \frac{\binom{M}{1}\binom{N-M}{n-1}}{\binom{N}{n}}.$$

有了以上对 $A_0$ 和 $A_1$ 的分析，我们就容易计算一般事件 $A_m$ 中含有的样本点个数：要使 $A_m$ 发生，必须从 $M$ 件不合格品中抽 $m$ 件，再从 $N-M$ 件合格品中抽 $n-m$ 件，根据乘法原理，$A_m$ 含有 $\binom{M}{m}\binom{N-M}{n-m}$ 个样本点，由此得 $A_m$ 的概率为

$$P(A_m) = \frac{\binom{M}{m}\binom{N-M}{n-m}}{\binom{N}{n}}, \quad m=0,1,2,\cdots,r, \quad r=\min\{n,M\}. \tag{1.2.6}$$

注意，在此应有 $m \le n$，$m \le M$，所以 $m \le \min\{n,M\}$，否则其概率为 0。

如果取 $N=9$，$M=3$，$n=4$，则有 $m \le \min\{4,3\} = 3$，

$$P(A_0) = \frac{\binom{6}{4}}{\binom{9}{4}} = \frac{15}{126} = \frac{5}{42},$$ $$P(A_1) = \frac{\binom{3}{1}\binom{6}{3}}{\binom{9}{4}} = \frac{60}{126} = \frac{20}{42},$$ $$P(A_2) = \frac{\binom{3}{2}\binom{6}{2}}{\binom{9}{4}} = \frac{45}{126} = \frac{15}{42},$$ $$P(A_3) = \frac{\binom{3}{3}\binom{6}{1}}{\binom{9}{4}} = \frac{6}{126} = \frac{2}{42}.$$

由于以上四种情况概率之和为 1，这意味着 $m$ 取 0, 1, 2, 3 等四种情况中必有之一发生。