例 3.5.2

因为独立泊松变量的和仍为泊松变量，即 $X+Y \sim P(\lambda_1+\lambda_2)$，所以

$$P(X=k \mid X+Y=n) = \frac{P(X=k,X+Y=n)}{P(X+Y=n)}$$ $$= \frac{P(X=k)P(Y=n-k)}{P(X+Y=n)}$$ $$= \frac{\dfrac{\lambda_1^k}{k!}e^{-\lambda_1} \cdot \dfrac{\lambda_2^{n-k}}{(n-k)!}e^{-\lambda_2}}{\dfrac{(\lambda_1+\lambda_2)^n}{n!}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}$$ $$= \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{\lambda_1^k\lambda_2^{n-k}}{(\lambda_1+\lambda_2)^n}$$ $$= \binom{n}{k}\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right)^k\left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}\right)^{n-k}, \quad k=0,1,\cdots,n.$$

即在 $X+Y=n$ 的条件下，$X$ 服从二项分布 $b(n,p)$，其中 $p=\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)$。