例 3.5.10medium一级题目发布者: ai-batch题干设 X1,X2,⋯X_1,X_2,\cdotsX1,X2,⋯ 为一列独立同分布的随机变量，随机变量 NNN 只取正整数值，且 NNN 与 {Xn}\{X_n\}{Xn} 独立，证明 E(∑i=1NXi)=E(X1)E(N).E\left(\sum_{i=1}^N X_i\right) = E(X_1)E(N).E(i=1∑NXi)=E(X1)E(N).答案点击展开后可查看解析解析由定理 3.5.1 知 E(∑i=1NXi)=E[E(∑i=1NXi | N)]=∑n=1∞E(∑i=1NXi | N=n)P(N=n)=∑n=1∞E(∑i=1nXi)P(N=n)=∑n=1∞nE(X1)P(N=n)=E(X1)∑n=1∞nP(N=n)=E(X1)E(N).\begin{aligned} E\left(\sum_{i=1}^N X_i\right) &= E\left[E\left(\sum_{i=1}^N X_i \;\middle|\; N\right)\right] = \sum_{n=1}^{\infty} E\left(\sum_{i=1}^N X_i \;\middle|\; N=n\right)P(N=n) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)P(N=n) = \sum_{n=1}^{\infty} nE(X_1)P(N=n) \\ &= E(X_1)\sum_{n=1}^{\infty} nP(N=n) = E(X_1)E(N). \end{aligned}E(i=1∑NXi)=E[E(i=1∑NXiN)]=n=1∑∞E(i=1∑NXiN=n)P(N=n)=n=1∑∞E(i=1∑nXi)P(N=n)=n=1∑∞nE(X1)P(N=n)=E(X1)n=1∑∞nP(N=n)=E(X1)E(N). 得证。