例 5.3.1

medium一级题目发布者: ai-batch

题干

设总体 $X$ 的分布为仅取 0, 1, 2 的离散均匀分布，分布列为

$X$	0	1	2
$p$	$1/3$	$1/3$	$1/3$

现从中抽取容量为 3 的样本 $(x_1, x_2, x_3)$ ，其一切可能取值有 $3^3 = 27$ 种。

（1）求次序统计量 $x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}$ 各自的分布列；

（2）求 $x_{(1)}$ 和 $x_{(2)}$ 的联合分布列，并判断 $x_{(1)}$ 和 $x_{(2)}$ 是否独立。

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由于样本取上述每一组观测值的概率相同，都为 $1/27$ ，列出全部 27 种样本取值及其对应的次序统计量观测值后，可给出 $x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}$ 的分布列如下：

$x_{(1)}$	0	1	2
$p$	$19/27$	$7/27$	$1/27$

$x_{(2)}$	0	1	2
$p$	$7/27$	$13/27$	$7/27$

$x_{(3)}$	0	1	2
$p$	$1/27$	$7/27$	$19/27$

我们可以清楚地看到这三个次序统计量的分布是不相同的。

进一步， $x_{(1)}$ 和 $x_{(2)}$ 的联合分布列为

$x_{(1)} \backslash x_{(2)}$	0	1	2
0	$7/27$	$9/27$	$3/27$
1	0	$4/27$	$3/27$
2	0	0	$1/27$

因为

P(x_{(1)}=0)P(x_{(2)}=0) = \frac{19}{27} \times \frac{7}{27},

而

P(x_{(1)}=0, x_{(2)}=0) = \frac{7}{27},

两者不等，由此可看出 $x_{(1)}$ 和 $x_{(2)}$ 是不独立的。