例 1.2.11

这是一个几何概率问题，它有三种不同理解，具体如下：

理解一 由于对称性，可只考察某指定方向的弦。作一条直径垂直于这个方向。显然，只有交直径于 $1/4$ 与 $3/4$ 之间的弦才能超过正三角形的边长（见图 1.2.10(a)），如此，所求概率为 $1/2$。

理解二 由于对称性，可让弦的一端点固定，让另一端点在圆周上随机移动。若在固定端点作一切线，则与此切线夹角的 $60°$ 与 $120°$ 之间的弦才能超过正三角形的边长（见图 1.2.10(b)），如此，所求概率为 $1/3$。

理解三 圆内弦的位置被其中点唯一确定。在圆内作一同心圆，其半径仅为大圆半径的一半，则大圆内弦的中点落在小圆内，此弦长才能超过正三角形的边长（见图 1.2.10(c)），如此，所求概率为 $1/4$。

同一问题有三种不同解答，究其原因在于圆内"取弦"时规定尚不够具体，不同的"等可能性假定"导致了不同的样本空间，具体如下：其中"均匀分布"应理解为"等可能取点"。

理解一中假定弦的中点在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空间 $\varOmega_1$。

理解二中假定弦的另一活动端点在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本空间 $\varOmega_2$。

理解三中假定弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间 $\varOmega_3$。

可见，上述三种解答是针对三个不同样本空间引起的，它们都是有道理的，贝特朗奇告诉人们：在定义概率时要事先明确指出样本空间是什么。