例 3.2.5

先把 (3.1.8) 式二维正态密度函数 $p(x,y)$ 的指数部分

$$-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]$$

改写成

$$-\frac{1}{2}\left(\rho\frac{x-\mu_1}{\sigma_1\sqrt{1-\rho^2}} - \frac{y-\mu_2}{\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\right)^2 - \frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}.$$

再对积分

$$\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{-\frac{1}{2}\left(\rho\frac{x-\mu_1}{\sigma_1\sqrt{1-\rho^2}} - \frac{y-\mu_2}{\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\right)^2\right\} \mathrm{d}y$$

作变换（注意把 $x$ 看作常量）

$$t = \rho\frac{x-\mu_1}{\sigma_1\sqrt{1-\rho^2}} - \frac{y-\mu_2}{\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}},$$

则

$$p_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x,y) \, \mathrm{d}y$$ $$= \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\right\} \sigma_2\sqrt{1-\rho^2} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{-\frac{t^2}{2}\right\} \mathrm{d}t.$$

注意到上式中的积分恰好等于 $\sqrt{2\pi}$，所以有

$$p_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_1} \exp\left\{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\right\}.$$

这正是一维正态分布 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 的密度函数，即 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$。同理可证 $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$。由此可见

• 二维正态分布的边际分布中不含参数 $\rho$。
• 这说明二维正态分布 $N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, 0.1)$ 与 $N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, 0.2)$ 的边际分布是相同的。
• 具有相同边际分布的多维联合分布可以是不同的。